Milieu d'un segment - Vecteurs égaux

Propriété

Soit \(\text A\) et \(\text B\) deux points distincts du plan.
Le point \(\text M\) est le milieu du segment \([\text{AB}]\) si et seulement si \(\overrightarrow{\text{AM}} = \overrightarrow{\text{MB}}\).

Démonstration

\(\begin{array}{ccl}\text{M est le milieu de [AB]} &\Leftrightarrow & \text M \in [\text{AB}] \text{ et } \text{AM} = \text{MB} \\& \Leftrightarrow & \begin{cases} (\text{AM}) // (\text{MB}) \text{ car les droites sont confondues,}\\ \text{le sens de A vers M est celui de M vers B}\\ \text{AM} = \text{MB} \\ \end{cases} \\& \Leftrightarrow & \overrightarrow{\text{AM}} = \overrightarrow{\text{MB}}\end{array}\)